关于提高高中数学成绩的思考

以下内容都是我的经验之谈。

提升数学成绩，就是在考试中做对更多的题目。这就有两点，一是会做更多的题目，二是将会做的题目做对。

一、将会做的题目做对

这个要求看上去很简单，但真的想要做到其实并不容易。我们在考试过程中很容易犯各种各样的错误。有一些可能是题目故意设置陷阱，有一些就是低级错误。比如审题不清、计算错误、笔误等等。很多人单是因为这样的错误就会丢掉5分、10分甚至更多，使原本就不富余的分数雪上加霜。有些人会觉得这只是一时的失误，不是自己的实力问题，但实际上这也是实力的一部分，也是需要锻炼的能力。所以有些人犯错少的时候成绩还可以，犯错一多成绩就很差，成绩波动很大。提高做题的正确率会让成绩变得稳定。

1. 认真对待作业

在乒乓球运动中有这么一句话，平时练什么技术，比赛打什么技术。因为一项练得不好的技术想在比赛中用好几乎是不可能的。在数学学习中也是一样。我们平时做作业的习惯会带到我们的考试中去。如果平时做作业就追求速度不追求正确率，那么在考试中想要一下将正确率提升几乎是不可能的。所以平时就要养成良好的做题的习惯，不能贪图速度，要追求正确。

有些学生在做老师布置的作业的时候会和同学对答案以提高正确率，这就导致自己的平时作业看上去还行，但是一到考试就不行，毕竟考试必须要自己独立完成。所以平时作业要认真对待，勇于暴露出自己的问题，并尝试不断地去改正自己的错误，养成良好的习惯。

2. 认真审题

在读题目的过程中一定要逐字逐句地读，而且要细致地理解每一句话，尽量避免自己受到固有印象的影响，否则很容易掉入出题人的陷阱之中。数学考试的阅读量没有语文和英语那么大，放慢阅读速度对考试时间的影响是很小的，但是一旦读错题目就会导致丢掉很多分数，实在是得不偿失。

3. 检查

很多人不推荐在考试中做一题检查一题，因为这会浪费时间，导致后面的题目时间不够。这对于追求高分的学生有一定道理。而且由于人脑思维的特性，我们在做完一题，再检查的时候很有可能受到我们已有的思维的影响，从而发现不了错误。修改文章有一种方法称为“搁置法”，即写完文章之后过几天再去修改，就是因为这样的原因。

但我个人还是倾向于做完一题就立刻检查的方式，主要有以下几点：

• 提高我们的正确率。在考试之中，前面一道简单的题目是5分，后面一道难题也是5分，把前面检查的时间节省下来去做后面的难题，也不一定就能拿到分数。所以更保险的方式是将前面的5分稳稳拿住。

• 将试卷全部做完再检查的方式有不足之处。首先我们未必能在规定的时间内做完试卷，并且留下充足的时间检查，其次，我们就算有时间，在做完一套试卷之后头脑也非常疲惫了，这时候再检查也未必能发现错误，甚至可能将原本正确的答案改错。所以再做完试卷之后，我们主要检查的是答题卡是否涂错，答案是否写错位置之类的问题，那些让我们犹豫的题目尽量不要去改。

• 提升自信，将心思全部放在下一题上面。我们做完一题，检查一题，那么我们就要有必对的把握，然后把这一题完全放下，投入到下一题中，不受上一题影响。

检查并不等于将一道题目重新做一遍。由于之前提到的原因，重复一遍之前的方式我们很有可能检查不出错误。实际上检查的方式有很多种，比如下面的几种：

• 用另一种方法来做；
• 检查答案的合理性，比如看一下答案是否符合直觉；
• 取一些特殊的值或者特殊的情况来检验；

检查的方式有很多种，对于具体的题目可以有不同的方式。经常做检查不仅可以提高我们的正确率，而且对我们理解知识也有好处。比如我们用不同的方法去做同一道题目，可以加深我们对知识的理解，用特殊情况来检验可以帮助我们积累一些特殊的例子，从而建立起做题目的直觉。

最后要注意的是，做检查一定要注意控制时间，一旦超过自己设定的时间就要去做下一题了。在考试之前我们要做好时间安排，然后每次考完总结调整，找到适合自己的做题节奏。

4. 锻炼计算与推导能力

计算能力是数学中最基本的能力之一。很多数学题目最后都会落实到计算上，如果计算总是出错，对数学成绩的影响会很大。提升计算能力的方式有很多，我能想到的有以下几点：

• 在计算过程中要集中注意力，减少笔误；

• 在草稿纸上尽量做到字迹清晰，不同的符号要写出区别，不能写得类似，同一题目尽量做在相近区域；

• 积累一些辅助计算的技巧，比如在计算多项式乘法的时候，我们可以将同类项写在同一列，然后相加，比如：

  \((x^3+x^2+1)(2x-3)\)

  \(= 2x^4+2x^3\ \ \ \ \ \ \ \ +2x\)

  \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x^3-3x^2\ \ \ \ \ \ \ -3\)

  \(=2x^4-x^3-3x^2+2x-3\)

  诸如此类的计算技巧可以在平时作业中有意识地积累。

推导能力是指我们在推导过程中每一步都要有依据，而不是完全依靠直觉和经验，否则我们很容易犯错误。比如很多人会想当然地“发明”一些公式，比如\(x^a+x^b=x^{a+b}\)之类的。这同样需要我们在平时的作业中进行锻炼。

二、会做更多的题目

1. 掌握基础的知识

很多学生做不出一些中等难度的题目，归根结底还是对知识的掌握不到位，理解不够深刻，从而在做题的过程中思维陷入混乱之中。检验自己是否掌握知识，可以尝试将知识将给别人听，或者将给自己听。如果能够流畅地清晰地讲出来，那就说明自己已经充分掌握，否则说明自己还有不明白的地方。这种方法也称费曼学习法。

高中数学的知识其实是比较少的，并没有太多需要记忆的东西。很多公式其实都可以由一些基本的定义或者公式推导得到。我们在学习过程中不单要记住这些公式，而且最好要搞清楚这些公式从哪里来，搞清楚各个知识点之间的逻辑关系，让知识在自己的脑中形成一个相互连结的网络，而不是一个个孤立的知识点。

2. 积累足够多的题型

我们掌握知识，还要会用这些知识去解题。每一个知识点总是有一些最基本的使用方法，也就是最基本的题型，这些是必须掌握的。然后就是一些常见的题型，同样需要掌握。

判断自己是否掌握的方式和上面类似，就是看自己能不能独立做出来，能不能讲给别人听。

题型是千变万化的，题目是做不完的。不能盲目地做题，尤其不要盲目追求偏题，怪题。每做一道题目，都要能通过这一道题目来掌握这一种类型的题目，从而加深对知识点的理解。比如可以尝试将题目的中的条件进行适当的修改，看看自己还能不能做对，或者看看结论会不会产生变化，原来的结论还成不成立，等等。

3. 提升自己的思维能力

学习数学的意义很大程度上是锻炼自己的思维方式。著名的匈牙利数学家（后入美国籍）波利亚在他的著作《怎样解题》一书中做了很好的总结，如下：

步骤	具体内容
第一 你必须理解题目	未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？ 画一张图，引入适当的符号。 将条件的不同部分分开。你能把它们写出来吗？
第二 找出已知数据与未知量之间的联系。 如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目。 最终你应该得到一个解决方案。	你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？ 你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？ 观察未知量！并尽可能想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。 这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？ 你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？ 回到定义上去。 如果你不能解所提的题目，先尝试去解谋道有关的题目。你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中的所有关键概念都考虑到了吗?
第三 执行你的方案	执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？
第四 检查已经得到的解答	你能检查这个结果吗？你能检验这个结论吗？ 你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？ 你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？

题目是做不完的，而且高考题总是会有变化，不会和以前的题目重复。所以我并不赞同题海战术，而是更加鼓励培养良好的思维方式。如果我们能够以上面这样的方式来思考问题，那么很多难题是可以克服的。但这并不容易，需要大量地锻炼才能培养出来。但每一次成功地解出新的题目，都会提升我们信心和能力，并且让我们产生满足感，从而提升对解题的兴趣。

4. 独立思考

这在数学的学习过程中非常重要。

在数学的学习过程中，很多人会在身体上勤奋，但头脑上懒惰。这些学生可能会做很漂亮的笔记，会整理错题集，会做大量的题目，但是考试成绩始终很难提高。这是因为他们缺少独立思考。他们遇到有挑战性的时候害怕思考，抛出一句“我不会”然后就放弃了，然后去做那些自己已经会做的题目。他们对每道题目也仅仅停留在能做出来的程度，对于不会做的题目，只希望得到别人的解答，然后心满意足地整理在错题集上。他们用外在的形式来逃避真正的问题，用身体上的勤奋来掩盖头脑上的懒惰。如此，对数学的理解就始终停留在表面，思维方式也很难培养起来。

独立思考，就是在遇到困难的时候独立去解决问题，而不是立刻去翻答案或者寻求别人的帮助。这是一个痛苦的过程，但也是提升自己能力的必经的过程。

我们会有这样的体会，我们要去一个陌生的地方，如果是别人开车带我们过去，可能坐上几次都不认识路，但是我们要是自己开车摸索过去，那么一两次我们就认识路了。学习数学也是这样。一道题目，如果是自己做出来的，那么印象会非常深刻，就很难忘记，但如果是别人将给我们听的或是翻看的答案，那么印象就会差很多，也许再遇到就忘记了。

有人会说，如果我们独立思考一两个小时还是做不出来，那么不就浪费时间了吗？其实不然。即使我们做不出这条题目，我们还是有收获的。这会锻炼我们的思维能力，加深我们对知识点的理解。比如，这道题目我们用方法\(A\)做不出来，那么我们就要思考为什么方法\(A\)做不出来，它的局限性在哪里，为什么方法\(B\)就能做出来，方法\(B\)有它的局限性吗？比如我们在思考问题的过程中，会去联想和这个问题有关的一切知识点，这会加深我们对知识点的记忆，同时也会将知识连结起来，形成一个网络。我们可以给自己设定一个时间，比如一道题目设定半个小时（在平时作业中，考试没有这么多时间），做不出来，也要花上至少半个小时去想它。如果时间允许的话，甚至可以整天地去想这个问题。我们付出的越多，在收获的时候得到的快乐就越多。有时候比起结果，思考的过程本身要更加重要。

所以在遇到困难的时候不要害怕，去思考。只有思考才能将外在的知识真正内化，变成“自己的”，才能有真正的收获。

后记

这是适合我自己的学习方式，也是基于自己多年求学经历的切身体会不断思考总结的结果。距离我高考已经过去了多年，如今的高考制度也发生了巨大的变化，但我想我的经验对现在的学生依然有一定的借鉴意义。

高考是一场残酷的竞争。学生们拼尽全力去考更高的分数，只是为了战胜更多的人，获取更好的大学的入场券。在这场竞争中，他们不断地训练各种各样的应试技巧，为了提高一点分数而重复着大量的训练和考试。但他们的知识却只局限在一个很有限的范围内，而很多技巧在他们日后的学习道路中几乎是无用的。对个人来说，这是无奈之举，是必经之路，但对整个社会来说，这空耗了一代又一代人的青春。这能不让人感到悲哀吗？